নিচের কোনটি সত্য ?

সেট তত্ত্বের মৌলিক ধারণাগুলো যাচাই করার জন্য প্রশ্নটি করা হয়েছে। এখানে সেট প্রক্রিয়ার কিছু সাধারণ সূত্র এবং তাদের প্রয়োগ সম্পর্কে জানতে চাওয়া হয়েছে।

চলুন, প্রতিটি অপশন বিশ্লেষণ করি:

    
•         অপশন ১: \(A \setminus B \subseteq (A \cup B)'\)         

  \(A \setminus B\) (A বাদ B) হলো সেই উপাদানগুলো যা A সেটে আছে কিন্তু B সেটে নেই।

          

  \((A \cup B)'\) হলো A এবং B উভয় সেটের বাইরের উপাদানসমূহ (অর্থাৎ যা A সেটেও নেই এবং B সেটেও নেই)।

          

  উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক, সার্বিক সেট \(U = \{1, 2, 3, 4, 5\}\), \(A = \{1, 2, 3\}\) এবং \(B = \{3, 4\}\)।

          

  \(A \setminus B = \{1, 2\}\)

          

  \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}\)

          

  \((A \cup B)' = U \setminus (A \cup B) = \{5\}\)

          

  এখানে \(\{1, 2\}\) সেটটি \(\{5\}\) সেটের উপসেট নয়। সুতরাং, এই অপশনটি মিথ্যা।

      
    
•         অপশন ২: \(A \setminus B = B \setminus A'\)         

  \(A \setminus B\) মানে A সেটে আছে কিন্তু B সেটে নেই এমন উপাদানসমূহ।

          

  \(B \setminus A'\) মানে B সেটে আছে কিন্তু A সেটের পূরক সেটে (\(A'\)) নেই। কোনো উপাদান \(A'\) এ না থাকা মানে সেটি A সেটে থাকা। সুতরাং, \(B \setminus A'\) আসলে \(B \cap A\) (B ইন্টারসেকশন A) কে নির্দেশ করে।

          

  তাহলে অপশনটি বলছে \(A \setminus B = A \cap B\)। এটি সাধারণত মিথ্যা। \(A \setminus B\) এবং \(A \cap B\) দুটি ভিন্ন সেট। যেমন, \(A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}\) হলে, \(A \setminus B = \{1,2\}\) এবং \(A \cap B = \{3\}\)। \(\{1,2\} = \{3\}\) এটি মিথ্যা। সুতরাং, এই অপশনটিও মিথ্যা।

      
    
•         অপশন ৩: \(A - B = A \cap B'\)         

  \(A - B\) (বা \(A \setminus B\)) হলো A সেটের সেই সকল উপাদান যা B সেটে নেই। এটি সেট পার্থক্যের মৌলিক সংজ্ঞা।

          

  \(A \cap B'\) (A ইন্টারসেকশন B কমপ্লিমেন্ট) হলো সেই সকল উপাদান যা A সেটে আছে এবং B সেটের পূরক সেটে (\(B'\)) আছে। B সেটের পূরক সেটে থাকা মানে B সেটে না থাকা। সুতরাং, \(A \cap B'\) মানে A সেটে আছে এবং B সেটে নেই এমন সকল উপাদান।

          

  এই দুটি সংজ্ঞা অভিন্ন। অর্থাৎ, \(A - B\) এবং \(A \cap B'\) একই সেট নির্দেশ করে। এটি সেট তত্ত্বের একটি মৌলিক অভেদ। তাই এই অপশনটি সত্য।

      
    
•         অপশন ৪: \((A \setminus B) \cup B = B'\)         

  \((A \setminus B) \cup B\) হলো সেই সকল উপাদান যা A সেটে আছে কিন্তু B সেটে নেই, এবং B সেটের সকল উপাদান। ভ্যান ডায়াগ্রামের সাহায্যে দেখলে, এটি \(A \cup B\) (A ইউনিয়ন B) এর সমান।

          

  তাহলে অপশনটি বলছে \(A \cup B = B'\)। এটি সাধারণত মিথ্যা। যদি A এবং B অশুন্য সেট হয়, তাহলে \(A \cup B\) তে B এর সকল উপাদান থাকবে, কিন্তু \(B'\) (B এর পূরক সেট) এ B এর কোনো উপাদান থাকবে না। উদাহরণস্বরূপ, যদি \(A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}\) হয় এবং \(U = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) হয়,

          

  \((A \setminus B) \cup B = (\{1,2\}) \cup \{3,4\} = \{1,2,3,4\}\)

          

  \(B' = U \setminus B = \{1,2,5\}\)

          

  স্পষ্টতই, \(\{1,2,3,4\}\) এবং \(\{1,2,5\}\) সমান নয়। সুতরাং, এই অপশনটিও মিথ্যা।

      

উপরে উল্লিখিত বিশ্লেষণ অনুযায়ী, একমাত্র তৃতীয় অপশনটিই ( \(A - B = A \cap B'\) ) সত্য।